■解析する非線形の式■
これまでは、線形微分方程式を解いてきました。線形だと、最後に解く連立方程式も線形になりますね。ところが、”線形でない”と言うことになると、全ての非線形を含むことになります。一番簡単な非線形は、2次です。もし、微分方程式の1つの項に u(x)² が有るとします。すると、最後に解く連立方程式も2次になります(2次の連立方程式を解けないことはないが、複雑な計算をしなければなりません)。しかし、u(x)^1.5 の様な半端は乗数の項が微分方程式に含まれると、話は違ってきます。すんなりと、数学的に解くことができまくなります。

この様に、非線形微分方程式の解き方は、ケースバイケースになります。つまり、これと言った万能な方法は有りません。ここでは、前に紹介した下の式の解き方を紹介します。解き方としては、最も簡単で理解し易い方法を紹介します。

■Y(x)の Good Guess が必要■
突然ですが、貴方なら非線形微分方程式をどの様に解きますか。多分、 非線形の部分を、定数または xの関数とし、微分方程式を線形化しますよね。 つまり、Y(x)を予測し、解析の前、非線形の部分を計算してしまうということですね。 解析の後で、予測のY(x)と計算されたY(x)を比較し、予測が正しかったどうかを確認しますよね。
ここでも、貴方の考えと同じ方法で話を進めることにします。 上の式を見ると、dY(x)/dx は未知ですので計算できません。そこで、計算の第1ステップとして、線形微分方程式を解いたときと同じ仮定を使います。つまり、dY(x)/dx=0 です。または、Y(x)=constant です。すると、計算の第2ステップとして、解析結果から dY(x)/dx が計算できます。ここでは、非線形の部分を下式に示す様にβ(x)で置き換えることにします。

ちょっと言い換えると、計算の第1ステップでは、β(x)=1 だったと言うことですね。ですから、計算の第2ステップのβ(x)は、更新された値と言うことになります。そして、その新しいβ(x)を使った線形微分方程式は、次の様になります。

上の式から計算されるY(x)を用いて、再びβ(x)を計算し、上の式を解きます。これら一連の計算を繰り返すと、Y(x) の値は、だんだん落ち着いてきます。つまり、解が得られたということになります。

■β(x)の積分と要素の関係■
この問題に限ってですが、β(x)の値は、線形要素内(1次要素)において、下に示す様に一定値になりまずね。なぜかと言うと、線形近似のY(x)を微分すると一定値になるからです。

しかし、2次要素を使うと、β(x)は x の関数になり、積分が少々複雑になります。そこで、ここでは、線形要素を使った例題を紹介します。