■WRMのまとめ1: 領域を1要素■
ここまでの内容をマスターすると、有限要素法の基礎を理解したとこになります。この後は、領域を分割した場合の、近似式と重み関数の作り方と、有限要素法の2-3次元への応用です。勿論、この先には、難問が有りますが、ここまでの内容を理解していれば、スムースに勉強を進められます。先へ進む前に、いままで勉強した事柄をまとめてみましょう。つまり、領域を1要素で表した場合です。

WRMの手順

微分方程式に適した近似式を導く(自由度1の場合)。ここでは、関数φ0が両境界でDirichlet型境界条件を与えているケースを取り上げた。
近似式の中に含まれる未知数の数だけ重み関数をGalerkin法で作る。上の近似式の場合、重み関数はφ1になる。
解析したい微分方程式を L(u)+....=0の形にする。
L(近似式)+....=R(u)とおく。
近似式の中に含まれる未知数(Unknown)の数だけの積分式を導く。
2階微分項は、部分積分で、境界積分と1階微分の領域積分に分離する。
積分式(有限要素式)を導く。
上の式を計算し、未知数(a1)を求める。
近似式にa1を代入し、u(x)を計算する。

近似式の条件

1. 近似式は、変数*関数の多項式で表わした連続な式であること。
2. 変数は、未知数(Unknown)と同じ単位を持ち、関数は無次元であること。
3. 近似式に用いる関数は、互いに独立関数になっていること。
4. Nuemann 型境界条件が与えられている点において、近似式はゼロにならない。

重み関数(φ₁(x))の条件

1. 未知数 a₁の重み関数であるφ₁(x)は、連続でかつ無次元関数であること。
2. 未知数 a₁が支配している領域において、φ₁(x)は有限な値を持ち、領域外(境界)ではゼロになる。Dirichlet型境界条件が与えられている境界において、φ₁(x)は、その点でゼロになっている。
3. Neumann型境界条件が与えられている場合、φ₁(x)は、その境界点でゼロにならない。Neumann型境界の点は、 a₁の支配領域内であるからです。
4. 自由度が2以上の場合、重み関数は、互いに独立関数になっていること。

ここでは、Dirichlet型境界条件を近似式に埋め込む方法のWRM法を勉強しました。しかし、実際の場合を考えると、どの様な境界条件になるかは不明です。ですから、プログラムミングでは、どちらの境界条件でも対応できるようにします。つまり、Neumann型も扱える様にしておきます。